Límite, serie y goce: la convergencia como formalización del no-todo

En el seminario Aún, Lacan introduce el concepto de serie tomando como referencia un punto preciso de la matemática: su condición de posibilidad estructural, que es la existencia de un límite. Este concepto, clave en el cálculo diferencial, permite formalizar la idea de convergencia: una serie numérica se define como convergente cuando sus términos tienden hacia un valor determinado, que constituye su límite.

Este pasaje al límite, tal como lo describe Lacan, no es solo una metáfora. Está vinculado al modo en que se piensa la infinitud regulada: es decir, lo que puede acercarse indefinidamente a un punto sin alcanzarlo del todo. Esta es también la operación subyacente en el pensamiento cantoriano sobre los conjuntos infinitos, donde la noción de límite adquiere un papel central. Como señalan Kasner y Newman, “el concepto de límite… se presenta, con propiedad, en relación a procesos infinitos”.

Lacan se apropia de esta estructura matemática porque le permite formalizar la relación entre lo serial y el goce. Lo serial es aquello que entra en la cuenta, lo que puede ser articulado como sucesión; mientras que la serie, en tanto construcción, se aproxima asintóticamente a un punto que nunca se alcanza por completo: ese punto es el límite, análogo a la imposibilidad estructural que define al goce.

Aquí es donde Lacan introduce la paradoja de Zenón: Aquiles puede acercarse indefinidamente a la tortuga, pero nunca la alcanza. Este movimiento infinito en torno a un punto inalcanzable es homólogo al modo en que el goce opera para el sujeto. El goce se presenta como exceso inasimilable, inatrapable por la cadena significante, y es precisamente esta imposibilidad lo que señala su dimensión castrada.

Desde esta perspectiva, la referencia a lo infinitamente pequeño no apunta a una sutileza cuantitativa, sino a una hiancia estructural: el goce del Otro no puede ser colmado, ni representado en su totalidad. En palabras de Lacan:

“El goce del Otro, del Otro con mayúsculas, del cuerpo del otro que lo simboliza, no es signo de amor.”

Este goce que no se alcanza pero tampoco cesa de escribirse es el núcleo mismo del no-todo: no porque sea incompleto, sino porque no se cierra. Así, el límite —tomado desde la matemática— permite a Lacan formalizar lo imposible, no como carencia, sino como exceso sin borde, bordeado por la serie, pero nunca capturado en su totalidad.

El padre y la inconsistencia de la verdad

El sujeto es inseparable de una aporía estructural que afecta al Otro como campo y conjunto. Esta falla fundamental hace indispensable la presencia de un sostén, algo que venga a suplir aquello que carece de referente.

Este problema involucra los límites de lo significantizable, lo que lleva a Lacan a reformular su concepción del orden simbólico. Para ello, inicia un cuestionamiento al principio de identidad, siguiendo el camino abierto por Frege, con el fin de formalizar las condiciones lógicas del inicio, tanto de la serie significante como de la posibilidad misma de la existencia. Si se pone en duda el principio de identidad, es porque el sujeto hablante lo pierde al someterse al lenguaje, lo que lo obliga a identificarse. Así, surge una posible respuesta a la pregunta: ¿para qué se necesita un Padre?

Lacan mantiene una clara apoyatura freudiana, aunque sus herramientas conceptuales sean distintas. Freud ya había abordado esta cuestión al afirmar que el inconsciente admite la contradicción, lo que implica aceptar un orden insensato y la imposibilidad de una verdad absoluta.

Los recursos matemáticos y lógicos de Lacan le permiten situar esta contradicción en el centro de la paradoja de Russell, en la que ninguna respuesta es completamente adecuada.

La paradoja de Russell es una paradoja lógica descubierta por Bertrand Russell en 1901. Surge en el contexto de la teoría de conjuntos y plantea un problema sobre la auto-referencia en los conjuntos. Supongamos que existe un conjunto R definido como el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. La paradoja es que:

- Si R se pertenece a sí mismo, por su propia definición, no debería estar en R.

- Pero si  R no se pertenece a sí mismo, entonces, según la definición de R, debería estar en R.

Esta paradoja mostró que la teoría de conjuntos desarrollada por Frege tenía problemas fundamentales, lo que llevó posteriormente a desarrollar sistemas más estrictos.

Lacan usa esta paradoja para mostrar que en el inconsciente hay una estructura similar: un punto de inconsistencia donde el sujeto no puede representarse completamente dentro del lenguaje. Es decir, el sujeto no puede ser al mismo tiempo el que se nombra y el que es nombrado sin generar un cortocircuito lógico. Esto cuestiona la idea de un Padre como garante absoluto de la verdad y la identidad.

¿Cómo se relaciona esto con el Nombre del Padre? Tanto Freud como Lacan, en sus primeros desarrollos, sitúan al Padre en el campo de la verdad, como su sostén y garantía de consistencia. Sin embargo, al cuestionar el principio de identidad, se abre una fisura en la verdad, que deja de ser absoluta y se vuelve no-toda. Esto impacta directamente en la operación paterna, que queda afectada por una insuficiencia estructural, más allá de cualquier contingencia histórica.

La brújula del sin-sentido: clínica, dirección y paradoja en la práctica analítica

Existe una orientación clínica que justifica esa afirmación, tantas veces repetida, por la cual el psicoanálisis “no es una terapéutica como las demás”. Esa diferencia no radica únicamente en los medios que utiliza, sino —y sobre todo— en los fines que persigue.

Esta orientación implica, entonces, un sentido como dirección: el analista dirige la cura, sí, pero no dirige al analizante. Surge así una pregunta fundamental:

¿Con qué brújula se orienta esta dirección?

O, formulado de otro modo:

¿Qué orienta la escucha analítica en una praxis que parte del reconocimiento de que no hay cura tipo?

Esta imposibilidad de una cura estandarizada da cuenta de algo estructural: en el sujeto hay un punto de imposibilidad, un límite que vuelve inviable cualquier técnica universal. No hay, por tanto, una “técnica analítica” en sentido clásico; hay, como dice Lacan, una técnica significante.

Esto significa que el analista se deja llevar por el discurso, por sus derivas, equívocos y tropiezos, para escuchar allí lo que determina el padecer subjetivo. Lo que guía la praxis no es un saber previo, sino una atención al detalle de las fallas, a lo que se interrumpe, vacila o se contradice.

En lugar de protocolos, lo que toma protagonismo son las dificultades, las contradicciones, los callejones sin salida... y, podríamos agregar, las vacilaciones del sentido. Esta serie de tropiezos no obstaculiza la cura, sino que la constituye: son ellos los que guían la escucha.

Allí donde el discurso yerra, aparece una fisura que se llena con ilusiones de sentido. Lacan lo nombrará, casi al final de su enseñanza, como “las ficciones de la mundanidad”. Es el intervalo donde se alojan los fantasmas, aquello que parece cerrar el vacío pero que lo conserva como tal, marcando un margen.

Si aceptamos que el sujeto solo adviene al ser como objeto en el deseo del Otro, cabría preguntarse:

¿Qué puede liberarlo de esa captura?

Tal vez, una paradoja. Una torsión del discurso que no lo redima, pero sí lo desplace; que interrogue el edificio de la verdad en el que se sostiene, lo saque de su lógica habitual, y lo confronte con el vacío que lo habita.

La dirección de la cura, entonces, no se orienta por una técnica ni por un ideal de salud, sino por la apertura de ese margen: allí donde el sentido falla, el sujeto puede emerger —no como identidad, sino como efecto.

Lógica y lo real: el saber en el psicoanálisis

Lacan define la lógica como la ciencia de lo real, pero esto no implica que la lógica pueda escribir lo real. Más bien, permite delimitarlo como impasse, situarlo como aporía. En última instancia, la lógica demuestra lo real sin eliminarlo.

Este punto es clave para el progreso del saber, ya que el pensamiento lógico avanza a través de la paradoja, no desde la consistencia sino desde el tropiezo. Justamente, en el psicoanálisis esto es fundamental, pues Freud inicia su investigación a partir de las fallas, los restos y los excesos: los sueños, los lapsus, los síntomas.

Freud se aleja del modelo aristotélico de equilibrio y temperancia para centrarse en lo que escapa, en lo que desborda los sistemas establecidos. Así funda una práctica que se ordena —o, mejor dicho, se desordena— en torno a lo que queda en los márgenes.

Desde esta perspectiva, el inconsciente cobra forma como un saber que, paradójicamente, nunca llega a ser completamente sabido. Esta dimensión introduce una división en el sujeto, cuestionando cualquier ilusión de dominio. A partir de ello, Lacan conceptualiza al sujeto dividido, evanescente y siempre supuesto.

El significante y su paradoja

Uno de los fundamentos del pensamiento lacaniano es la preexistencia de la estructura del lenguaje. Sin embargo, esto introduce una paradoja esencial: aunque el significante ya existe, debe también emerger en el sujeto.

Para abordar esta paradoja, Lacan propone una temporalidad triple, estructurada en tres momentos lógicos que se organizan a partir de dos operaciones fundamentales:

1. Primer tiempo: la marca.
   En este estadio inicial, el lenguaje deja una huella, un trazo que aún no es un significante, pero que comparte con él una característica esencial: puede ser borrado. Este borramiento es una operación significante, pues permite la aparición del significado.

2. Segundo tiempo: el lugar.
   Cuando la marca es borrada, queda su lugar. Aquí emerge una dimensión topológica clave: el lugar del Otro, que antecede y espera al sujeto.

3. Tercer tiempo: la emergencia del significante.
   El significante surge cuando ocupa un lugar en el Otro. De este modo, la paradoja se reafirma: el significante es producto del borramiento, pero al mismo tiempo, el borramiento es en sí mismo una operación significante.

Desde esta perspectiva, si entendemos el borramiento como una forma de vaciamiento, podemos definir el significante como aquello que tiene la consistencia de un vacío. No posee sustancia ni significado propio, sino que se enlaza con otros significantes en una cadena, formando anillos que constituyen el entramado simbólico del sujeto.

La paradoja de la conciencia moral y la renuncia al goce

Lo real se vincula estrechamente con un concepto clave: la paradoja. Esta no solo funciona como un soporte lógico para delimitar los impasses, sino que también mantiene una relación intrínseca con el problema del goce y lo real. Lacan, en este contexto, introduce la idea de una paradoja propia de la conciencia moral.

La paradoja establece una separación entre la conciencia moral y el campo de la contradicción, distanciándola de la simple oposición significante. En ella, se revela la incidencia de lo real y, al mismo tiempo, el fracaso de la represión. Este fracaso señala la participación de la pulsión en la conciencia moral y permite afirmar, en palabras de Lacan, que el Trieb se perfila más allá del ejercicio del inconsciente.

Antes de llegar a estas formulaciones, es necesario considerar la sublimación y su papel en el trabajo analítico. Lacan descarta la sublimación como horizonte del análisis precisamente porque ahí se evidencia un límite, algo que no puede ser sublimado. Se trata de un resto, un desecho, un núcleo irresuelto que permanece más allá del principio del placer. Por ello, la interpretación analítica debe abordarse desde la perspectiva del corte.

La paradoja de la conciencia moral también pone en juego la operación de la ley y la cuestión de la renuncia al goce. Cuanto más renuncia el sujeto, más implacable se vuelve la instancia moral (superyó). Esto nos lleva a interrogarnos sobre la renuncia misma: ¿qué implica renunciar? ¿Cómo se hace efectiva?

La paradoja señala que la renuncia, lejos de producir un corte definitivo, no alcanza sus consecuencias esperadas, ya que la lógica del deseo introduce un movimiento inverso: es en el mandato moral donde se juega el goce que se pretende abandonar. En otras palabras, cuanto mayor es la renuncia, mayor es la ferocidad de la instancia moral.

La paradoja y su lugar en el pensamiento

Según Ferrater Mora, la paradoja, en su raíz etimológica, se define como aquello que es contrario a la opinión establecida, oponiéndose así a la doxa. En este punto, se puede entender por qué Lacan enfatiza la responsabilidad del psicoanalista, quien debe dar cuenta de su acto en lugar de apoyarse en lo dado por sentado.

Si la opinión común representa lo establecido, la paradoja se presenta como una ruptura, una apertura en el saber que permite la emergencia de algo nuevo o diferente. En este sentido, la paradoja no solo desafía el sentido común, sino que también lo subvierte, generando un espacio para la interrogación y el cambio.

Ferrater Mora traza una distinción interesante entre aporía y antinomia. Mientras que la antinomia se sitúa en el plano de la contradicción lógica, donde se confrontan valores de verdad opuestos, la aporía se vincula con lo indecidible, con la imposibilidad de determinar lo verdadero o lo falso. En esta diferencia se juega la distancia entre verdad y real, una distinción clave en el pensamiento lacaniano.

A lo largo de la historia, la paradoja ha asumido distintos estatutos. Desde las paradojas filosóficas de Zenón hasta las paradojas lógicas, como la de Russell, estas configuraciones han desafiado los límites del pensamiento. Ejemplos como el catálogo que se pregunta si se incluye a sí mismo o el dilema del barbero que debe decidir si afeitarse o no, muestran cómo cualquier respuesta desemboca en un callejón sin salida.

Estos problemas anticipan la cuestión de la recursividad, cuyas implicancias se desarrollarán en la teoría de conjuntos. En definitiva, la paradoja revela un núcleo resistente al sentido, un punto donde el pensamiento tropieza y, precisamente en ese tropiezo, se transforma.

La paradoja en el campo del goce: un límite del lenguaje

Situar la paradoja en el campo del goce implica reconocer que no hay paradoja sin una hiancia. Más aún, la paradoja marca el inicio de un camino que conduce a la incompletitud y la inconsistencia, diferenciando la contradicción de lo indecidible. Para abordar esta cuestión, Lacan comienza en La ética... interrogando la naturaleza del lenguaje.

Su intención es establecer un estatuto del lenguaje que no dependa de una perspectiva semántica. No se trata de negar la existencia de un simbolismo sexual o la carga de significación que algunos términos pueden tener, sino de señalar que estos efectos de sentido no abarcan la totalidad de lo significable.

Si lo sexual ha de pensarse más allá de esas significaciones, surge la pregunta: ¿de dónde proviene lo sexual? Aquí entra en juego la paradoja. Al pasar de la falta a la falla, se postula que el lenguaje es incapaz de escribir un universal en relación con lo femenino. El simbolismo sexual intenta cubrir esta hiancia, pero lo hace a través de un uso metafórico del significante.

¿Qué ocurre, entonces, con su uso metonímico? Puede pensarse que este deslinde lo que queda fuera del campo de la significación, al estar ligado a la carencia instaurada por el significante. Esto, por supuesto, es solo una hipótesis.

La paradoja se revela como un recurso clave, pues permite abordar el problema desde una perspectiva particular: interrogar el campo del goce y su relación con lo sexual desde la paradoja implica asumir que hay allí una inconsistencia inherente.

Por ello, en La ética..., Lacan utiliza la paradoja para cuestionar la pulsión, el Bien, la moral y el deseo. Así, logra establecer una discrepancia entre distintos campos a partir de los límites de lo que el significante puede o no escribir, y de esa fractura emerge lo sexual.

El problema del sujeto que se nombra a sí mismo

 El sujeto no puede ser al mismo tiempo el que nombra y el que es nombrado sin generar una contradicción porque el lenguaje introduce una división estructural en el sujeto. Esta división es similar a la paradoja de Russell y tiene que ver con la imposibilidad de un autorreconocimiento total en el lenguaje.

Veamos esto paso a paso:

1. La división del sujeto en el lenguaje

Para Lacan, el sujeto del inconsciente es un efecto del lenguaje, pero al entrar en el lenguaje, pierde algo de sí mismo. Al decir “yo”, el sujeto se designa con un significante, pero ese significante no agota todo lo que el sujeto es.

• Cuando digo “yo soy”, el yo que dice (sujeto de la enunciación) no es idéntico al yo del que se habla (sujeto del enunciado).
• Hay una distancia entre quien habla y la identidad que esa palabra designa.

Este desfase genera una hiancia, una falta estructural que impide al sujeto coincidir completamente consigo mismo.

2. Relación con la paradoja de Russell

Vayamos a la paradoja de Russell:

• El conjunto R se define a partir de una condición que se refiere a sí misma, lo que genera una contradicción.
• De manera análoga, el sujeto intenta nombrarse a sí mismo dentro del lenguaje, pero como está atrapado en la estructura simbólica, siempre hay un resto que queda fuera.

Si el sujeto pudiera capturarse completamente en un enunciado, eso significaría que hay un significante último que lo representa de manera total, lo cual es imposible en el sistema del lenguaje.

3. Ejemplo cotidiano: el espejo y la identidad

Imagina que te miras al espejo. Lo que ves es una imagen de ti, pero no eres tú mismo en sentido absoluto, sino una representación.

• El nombre propio es como ese espejo: te da una identidad, pero no es tu ser en su totalidad.
• Siempre hay algo del sujeto que no se deja atrapar por el lenguaje.

4. Consecuencias clínicas y filosóficas

• El sujeto está dividido, nunca es idéntico a sí mismo.
• La búsqueda de un sentido total de la identidad es imposible porque el lenguaje siempre deja un vacío.
• La falta que introduce el lenguaje es lo que sostiene el deseo: siempre hay algo más allá de lo que podemos decir sobre nosotros mismos.

El intento del sujeto de nombrarse completamente a sí mismo genera un cortocircuito lógico porque el lenguaje es estructuralmente incompleto. Así como en la paradoja de Russell el conjunto R no puede decidir si se pertenece o no,

$\mathrm{<b\; style="font-family:\; verdana;\; text-align:\; justify;">el\; sujeto\; nunca\; puede\; cerrarse\; completamente\; en\; una\; definición\; de\; sí\; mismo\; sin\; dejar\; algo\; fuera.</b>}$

La paradoja de la tolerancia

 La paradoja de la tolerancia de Karl Popper se refiere a la idea de que una sociedad tolerante y abierta puede ser vulnerable a la destrucción por parte de fuerzas intolerantes y totalitarias.

Según Popper, la tolerancia es un valor fundamental en una sociedad abierta y democrática, ya que permite la coexistencia pacífica de personas con diferentes creencias, opiniones y estilos de vida. Sin embargo, Popper argumenta que la tolerancia puede ser llevada demasiado lejos, hasta el punto de que se tolere la intolerancia misma.

La paradoja de la tolerancia se puede formular de la siguiente manera:

"Si una sociedad tolerante no está dispuesta a defenderse contra la intolerancia, entonces será destruida por la intolerancia. Por lo tanto, la tolerancia debe ser limitada para proteger la tolerancia misma".

En otras palabras, la paradoja de la tolerancia sugiere que la tolerancia no puede ser absoluta, ya que debe ser compatible con la protección de la sociedad y de los derechos de los individuos. Si una sociedad tolerante no establece límites a la intolerancia, entonces corre el riesgo de ser destruida por fuerzas que no respetan la tolerancia.

Popper argumenta que la solución a esta paradoja es establecer límites claros a la tolerancia, de manera que se proteja la sociedad y los derechos de los individuos sin comprometer la tolerancia misma. Esto puede implicar la restricción de la libertad de expresión o de asociación en casos en que se promueva la violencia o la intolerancia.

En resumen, la paradoja de la tolerancia de Karl Popper es un dilema ético y político que surge cuando una sociedad tolerante se enfrenta a la intolerancia. La solución a este dilema requiere un equilibrio entre la tolerancia y la protección de la sociedad y los derechos de los individuos.

Borges y el Infinito: Escritura, Lógica y Letra

 En los textos de Jorge Luis Borges, el infinito aparece como una confrontación con lo imposible, aquello que no puede ser alcanzado. Este infinito, entendido como un vacío o una nada, es lo real con el que el escritor se encuentra y al que intenta circunscribir a través de su obra. Aunque no pueda aprehenderlo del todo, su escritura busca trazar los contornos de este agujero en el Otro.

Por un lado, Borges recurre a la lógica para aproximarse a lo real. Jacques Lacan afirmaba que "la lógica es el único camino a través del cual hay acceso a lo real". De manera similar, Borges explora la lógica y las paradojas como medios para bordear lo que no puede escribirse. Este interés se manifiesta en su fascinación por las paradojas de Zenón, como la de Aquiles y la tortuga, y en conceptos como la paradoja de los conjuntos.

Un ejemplo notable es la paradoja del bibliotecario en La biblioteca de Babel. En este relato, un bibliotecario intenta catalogar los catálogos que no se incluyen a sí mismos, enfrentándose a un dilema irresoluble: si incluye la lista en la lista, se contradice; si no la incluye, también se contradice. Este bucle lógico, que resalta la imposibilidad de cerrar el agujero en lo simbólico, remite a la paradoja de Russell y su solución mediante la teoría de los tipos, que distingue entre elementos y conjuntos. La biblioteca misma, inmensa y potencialmente infinita, representa un real imposible de localizar o catalogar por completo.

Frente a esta imposibilidad, Borges no intenta solucionar el problema, sino que lo evidencia. En La biblioteca de Babel, el catálogo de todos los catálogos no existe, o al menos no puede encontrarse. De este modo, el autor señala un punto de imposibilidad en el corazón del Otro, utilizando la lógica para definir un real que no puede escribirse.

Por otro lado, Borges también se enfrenta al infinito desde la perspectiva de la letra. En El Aleph, este real parece escribirse. El Aleph, una esfera de cristal que contiene todo el universo visible en un instante, representa el lugar donde convergen todos los puntos del universo sin confundirse. Esta idea remite a Cantor y su concepto del infinito actual. Sin embargo, el narrador de la historia se enfrenta al reto de transcribir esta experiencia: ¿cómo expresar en el lenguaje sucesivo la infinitud de lo simultáneo? Aquí, Borges recurre a la letra, al aleph, para señalar lo imposible de decir y representar lo infinito.

Así, Borges alterna entre la escritura lógica, que bordea el agujero en el Otro, y la escritura de la letra, que intenta inscribir ese vacío. En Babel y Aleph encontramos las dos grandes aproximaciones del autor a lo real: lo que queda como remanente de la escritura y lo que se escribe como una letra. Ambas estrategias buscan articular lo inefable, demostrando que, aunque lo real sea imposible de decir, es posible señalarlo mediante la escritura.

La paradoja de Pinocho

 

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La paradoja de los catálogos

Una manera de 'resolver' la famosa paradoja del barbero es señalar, sencillamente, que tal barbero no puede existir porque se le suponen actuaciones contradictorias, del mismo modo que no puede existir un barbero que sea a la vez alto y bajo. Pero, como decía Hegel (dicen que lo dijo), una paradoja es una verdad cabeza abajo, que nos obliga a revisar conceptos y planteamientos que creíamos claros y no lo son tanto. En el caso de la teoría de conjuntos, lo que puso en evidencia Russell con sus paradojas fue que el concepto intuitivo de conjunto como mera 'colección de cosas' es poco riguroso desde el punto de vista matemático.

LA PARADOJA DE LOS CATÁLOGOS

Se puede formular de esta manera:

Supongamos que soy el director de una gran biblioteca. Y que hay allí una sección de catálogos: algunos de estos catálogos se incluyen a sí mismos -incluyen una autorreferencia- y otros no -no son textos autorreferentes-; así que decidimos elaborar 'un catálogo de todos los catálogos que no se incluyen a sí mismos'. Bien, ¿debemos incluir allí nuestro catálogo (el que estamos elaborando) o no? Si lo incluimos, el catálogo incluirá una referencia errónea, por incluir un catálogo que sí se incluye a sí mismo; pero si no lo incluimos, nuestro catálogo estará incompleto, no podrá ser el catálogo de todos los catálogos que no se incluyen a sí mismos: falta el nuestro.

También se puede plantear de este modo:

¿Existe un catálogo imposible? Llamemos autorreferentes (AR) a los libros que se mencionan a sí mismos; por ejemplo, en el Quijote se habla del Quijote, y muchos libros llevan un prólogo o un texto de contracubierta en el que se habla del propio libro. Y llamemos no autorreferentes (NAR) a los libros en los que no aparece ninguna mención al propio libro. Y ahora hagamos el catálogo de los libros NAR. Si dicho catálogo figura en la lista de los NAR, se menciona a sí mismo, luego es AR, luego no debería estar en el catálogo de los NAR; y si no figura en la lista de los NAR, no se menciona a sí mismo, luego debería estar en la lista de los NAR.

Fuente: Courel, Raúl - (Nota elaborada a partir de textos encontrados en la GRAN REFERENCIA...)