Lógica de clases y lógica de conjuntos: ¿Cuál fue el giro en la historia de la lógica y cómo impactó en Lacan?

¿Cuál es la diferencia entre clases y conjuntos?

La distinción entre clases y conjuntos surge en la teoría matemática de conjuntos desarrollada en el siglo XIX y formalizada en el siglo XX con las teorías de Cantor, Frege, Russell y Zermelo-Fraenkel.

• Clases: Se definen por un atributo común que agrupa a los elementos. Ejemplo: la clase de "todos los mamíferos" reúne a los seres vivos que comparten la propiedad de ser mamíferos.
• Conjuntos: Se definen no por un atributo sino por la mera pertenencia a un agrupamiento. En los conjuntos, lo que importa es la estructura interna más que una característica externa que los clasifique.

Uno de los aspectos fundamentales en la teoría de conjuntos es la existencia del conjunto vacío, que permite la construcción de cualquier otro conjunto y posibilita la existencia de conjuntos sin un atributo común.

Lacan y el Paso de Clases a Conjuntos

En términos lógicos, el pensamiento clásico (incluido Freud) solía trabajar con clases:

• La clase de los hombres
• La clase de las mujeres
• La clase de los neuróticos, etc.

Cada una de estas clases se definía por un atributo común, lo que las hacía totalizables.

Lacan, en cambio, toma elementos de la lógica matemática moderna para introducir la noción de conjuntos, donde no es necesario un atributo común para agrupar los elementos. Aquí es clave la noción de conjunto vacío, porque permite pensar la inexistencia estructural de algo, no como una falta dentro de un conjunto más grande, sino como lo que impide el cierre de un sistema.

• El Nombre del Padre en Freud tenía una función totalizadora, como una clase universal.
• Lacan, al pasar a la lógica de conjuntos, permite pensar un Padre no como clase cerrada sino como una excepción estructural.

De ahí que en la sexuación, el lado femenino no sea una clase cerrada, sino un conjunto no-todo: no hay un universal que defina a las mujeres, sino que su existencia queda definida por lo que no se totaliza en el conjunto fálico.

Relación con Gödel y la Incompletitud

Este giro también está influenciado por el teorema de incompletitud de Gödel, que demuestra que ningún sistema lógico es completamente cerrable dentro de sí mismo. 

Por ejemplo, imaginemos un libro que contiene todas las reglas de un juego. Estas reglas deberían poder explicar cualquier movimiento válido dentro del juego. Pero Gödel demuestra que si el sistema es lo suficientemente complejo, habrá movimientos que son válidos pero que no pueden ser explicados usando solo las reglas del libro. En otras palabras: todo sistema formal lo suficientemente rico para expresar la aritmética contiene enunciados que no pueden ser probados ni refutados dentro de ese mismo sistema.

Explicado de manera sencilla, esto significa que en cualquier sistema formal suficientemente potente (como la aritmética), siempre habrá proposiciones verdaderas que no pueden demostrarse dentro del propio sistema.

En lógica matemática, significa que no existe un sistema formal que sea a la vez completo (capaz de demostrar todas las verdades dentro de él) y consistente (sin contradicciones).

Lacan usa esta idea para mostrar que el Otro no es todo, es decir, que hay un vacío estructural que impide la existencia de un gran Otro totalizador.

Aplicación Clínica

Este cambio lógico en Lacan tiene consecuencias clínicas importantes. Si el Padre ya no es un universal atributivo, sino una función que opera como excepción, entonces su papel en la estructuración psíquica no es absoluto ni necesario en todos los casos. Esto explica la diversidad en los modos de subjetivación contemporáneos.

Si te interesa una bibliografía para profundizar, te recomendaría:

• Jean-Claude Milner - Los nombres indistintos (explica la lógica en Lacan).
• Alain Badiou - El ser y el acontecimiento (sobre la teoría de conjuntos y Lacan).
• Slavoj Žižek - El sublime objeto de la ideología (vincula Gödel, Lacan y la ideología).